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Sur Alain Connes
et la géométrie non-commutative
Citation de Lee
Smolin par Jean-Paul Baquiast
Je trouve dans le livre remarquable (vraiment remarquable)
"Three Roads to Quantum Gravity", Basic Books, 2001, de
Lee Smolin (qui feral'objet d'une prochaine note de lecture) l'appréciation
suivante, que je vous traduis. Elle représente non seulement
un hommage au grand mathématicien français Alain Connes,
mais aussi en quelques lignes une élégante présentation
de l'intérêt pratique des travaux de celui-ci concernant
ce qu'il a nommé la Géométrie non-commutative
:
"Bien que mon hypothèse ne soit
pas prouvée, il semble de plus en plus évident que
la théorie des cordes et celle de la gravité quantique
en lacets (loop quantum gravity) décrivent le même
monde... Une preuve pourrait en être que des structures mathématiques
identiques apparaîtraient dans l'une et l'autre. Un exemple
en est la structure dite de la géométrie non-commutative.
Il s'agit d'une hypothèse inventée par le mathématicien
français Alain Connes pour tenter d'unifier la mécanique
quantique et la relativité générale. L'idée
de base en est simple. En physique quantique, on ne peut mesurer
en même temps la position et la vitesse d'une particule. Mais
si on le veut, on peut au moins déterminer la position avec
précision. Cependant, notez que cette opération suppose
trois mesures, puisque cette position se détermine le long
de 3 axes (ces mesures fournissent les trois composantes du vecteur
de position). Aussi nous pouvons envisager une extension du principe
d'incertitude selon laquelle on ne pourrait mesurer avec précision
en un instant donné que l'une de ces composantes. Quand il
n'est pas possible de mesurer deux quantités simultanément,
on dit qu'elles ne commutent pas. Cette idée introduit une
nouvelle forme de géométrie qui est dite non-commutative.
Dans un tel monde, il n'est pas possible d'envisager un point où
quelque chose puisse être exactement situé.
La géométrie non-commutative
d'Alain Connes nous donne ainsi la façon de décrire
un monde dans lequel le concept usuel d'espace a été
brisé. Il n'y existe pas de points, donc cela n'a pas de
sens de se demander s'il existe un nombre infini de points dans
une région donnée. Ce qui est merveilleux, cependant,
est que Connes a découvert que de nombreuses parties de la
théorie de la relativité, de la théorie quantique
et de la physique des particules élémentaires pouvaient
être compatibles avec un tel monde. Le résultat en
est une structure très élégante qui semble
aussi éclairer plusieurs des problèmes les plus profonds
des mathématiques.
Initialement, les hypothèses de Connes
furent développées indépendamment des autres
approches (de la gravité quantique). Mais ces dernières
années les gens ont été surpris de découvrir
qu'à la fois la gravité quantique en lacets et la
théorie des cordes décrivaient des mondes dans lesquels
la géométrie n'est pas commutative. Ceci nous donne
un nouveau langage dans lequel comparer les deux théories."
Note : rappelons que la théorie des cordes a été
exposée au grand public par Brian Greene dans un livre à
succès : l'Univers élégant (version française
chez Robert Laffont, 1999). Lee Smolin a surtout travaillé
l'autre alternative des approches de la gravité quantique,
dite de la gravité quantique en lacets. Mais il s'efforce
de proposer des synthèses des deux théories dans le
livre cité.
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